WordPressの投稿を別のサイトに移す時、一般的にはツール→エクスポートを使うと思うのですが、この方法だと投稿本文だけが書き出されて、新しいサイトにインポートした時に画像がすべて行方不明になってしまいます。
Export media with selected contentというプラグインを使ってみたところ思った通りに投稿の移行ができて非常に助かりました。
使い方は、プラグインを有効化して通常のエクスポート作業をするだけなんですが、書き出し対象のコンテンツを選んだあと「Export media with selected content」の部分にチェックを入れるのを忘れずに。これを忘れるとプラグインを入れた意味が無いです。
もうひとつ注意点としては、旧サイトからの書き出し時はもちろん、新サイトに書き出したデータをインポートする段階で画像のダウンロードが行われるはずなので、そのタイミングで旧サイトのサーバー上に画像データが残っている必要があります。
これを忘れて、エクスポートファイルをダウンロードした段階で旧サイトのデータを消しちゃうと大変なことになっちゃうので作業手順には気をつけましょう。私は1回失敗しました。